Painel7 - União e intercessão de conjuntos.

Ao estudarmos união e intercessão de conjuntos, estaremos iniciando as operações com conjuntos. Do mesmo modo que você soma, subtrai, multiplica e divide números, irá usar estas noções para resolver problemas de conjuntos.

Tópico 1 - União de conjuntos

 

Vamos imaginar que A e B são subconjuntos de um conjunto universo U dado.

A união ou reunião de A e B é dada pelo conjunto constituído por todos os elementos de A ou de B.

 

 

Notação: A U B - “A união ou reunião B”.

 

Condição: todos os elementos dos conjuntos A e B dados formam uma união dos dois conjuntos.

 

A U B = {x | x є  A ouє B }

 

A união ou reunião A U B corresponde a x, tal que x pertence a A ou x pertence a B, isto é, x pertence a pelo menos um dos conjuntos A e B.” 

 

Observe que os elementos x de A ou de B em união formam uma figura de fácil entendimento. Passamos a ter um conjunto solução C composto dos elementos dos conjuntos A e B. Podemos ter três casos:

 

Caso 1 - Observe que os conjuntos possuem uma área em intercessão,onde se encontram os elementos comuns aos dois conjuntos(e, i, f, h, g).

Caso 2 - Observe o conjunto B como subconjunto de A - Notação: A U B.

Caso 3 - Observe a união de conjuntos disjuntos, ou seja, totalmente sem conexão. Notação: A U B.

Tópico 2 - Interseção de conjuntos

 

  

Considere A e B subconjuntos de um conjunto universo U dado.

A interseção de A e B é dada pelo conjunto C constituído por todos os elementos comuns a A e a B.

 

Notação: A ∩ B - “A interseção B”.

 

Condição: entre os conjuntos A e B dados, há elementos comuns que formam uma interseção.

 

A ∩ B = {x | x є  A eє  B }

 

A ∩ B = {x | x є A e x є B } “A interseção A ∩ B corresponde a x tal que x pertence a A e x pertence a B simultaneamente”. Então, a área de intercessão é (2, 4, 6, 8).

Vamos analisar algumas situações de interseção de A e B:

 

Analise as propriedades abaixo como uma forma de exercício-modelo:

 

Exercício-modelo 4

1º Caso: Considere os conjuntos abaixo e resolva o que se pede:

A = { 2, 3, 4, 5}

B = { 3, 4, 6, 7, 8}

A ∩ B = ?

 

2º Caso: Considere os conjuntos abaixo e resolva o que se pede:

A = { 3, 4}

B = { 3, 4, 6, 7, 8}

A ∩ B = ?

 

 

3º Caso: Considere os conjuntos abaixo e resolva o que se pede:

 

A = { 2, 3, 4, 5}

B = { 7, 8}

A ∩ B = ?

 

Para desenvolver melhor suas questões, monte o Diagrama de Venn, mostrando  a situação dos elementos dos dois conjuntos e resolva o problema. 

Confira suas respostas:

1° Caso:

A = { 2, 3, 4, 5}

B = { 3, 4, 6, 7, 8}

A ∩ B = { 3, 4}

 

2° Caso:

 

A = { 3, 4}

B = { 3, 4, 6, 7, 8}

A ∩ B = { 3, 4}

 

3° Caso: 

 

A = { 2, 3, 4, 5}

B = { 7, 8}

A ∩ B = { } = Ø

 

Tópico 3 - Propriedades da união e da interseção

A união faz a força. http://raulmarinhog.wordpress.com/2008/10/30/a-uniao-faz-a-forca/
A união faz a força. http://raulmarinhog.wordpress.com/2008/10/30/a-uniao-faz-a-forca/

Propriedades da união

 

Considere três conjuntos A, B, C quaisquer. Para eles, valerão as seguintes propriedades:

 

A U A = A Idempotente

{a, b} U {a, b} = {a, b}

Observe que os dois conjuntos são iguais.

 

A U Ø = A Elemento neutro

{a, b} U Ø ={a, b}

Observe que estamos unindo um conjunto com o conjunto vazio.

 

A U B = B U A Comutativa

{a, b} U {c, d} = {a, b, c, d}

Observe que o conjunto solução é a soma dos elementos dos 2 conjuntos.

 

A U ( B U C) = (A U B ) U C Associativa

{a, b} U ({c, d} U {e, f}) = ({a, b} U {c, d} ) U {e, f}

Observe que podemos associar os conjuntos de diferentes modos.

 

Caleidoscópio.
Caleidoscópio.

Propriedades da interseção

 

Considere três conjuntos A, B, C quaisquer. Para eles, valerão as seguintes propriedades:

 

A A = A Idempotente

{a, b} {a, b} = {a, b}

Observe que a interseção pressupõe os mesmos elementos.

 

A Ø = A Elemento neutro

{a, b} Ø ={a, b}

Todo conjunto associado ao conjunto vazio é igual ao conjunto dado.

 

A B = B U A Comutativa

{a, b, c} {c, d, e} = {c, d, e} {a, b, c} ={c}

 

A ( B C) = (A B ) C Associativa

{a, b} ({c, d} {e, f}) = ({a, b} {c, d} ) {e, f}

 

Obs: Quando A ∩ B = Ø, temos um conjunto disjunto, o que quer dizer que os conjuntos A e B não tem elemento comum.

 

Pense união e interseção a partir dos valores.

Tópico 4 - Interseção e reunião

Dados A, B e C quaisquer, temos as seguintes propriedades relacionando interseção com reunião de conjuntos.

 1º - A U (A ∩ B) = A

 

 

2º - A ∩ (A U B) = A

 

3º - A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) distributiva da relação à interseção.

 

4ª - A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) distributiva da reunião interseção em relação a reunião.

 

Exercícios de painel

 

Dados os conjuntos, responda:

a) A = { a, b, c} b) C = {1, 2, 3, 4} c) E = {3, 4}

B = {b, c, d, e} D = {3,4,5} F = {5, 6}

 

a) A UB      c) C UD     e) E UF

b) A ∩ B      d) C ∩ D     f) E ∩ F

 

 

Resposta:

 

a) A UB = {a,b,c,d,e }     c)C UD = {1,2,3,4,5 }      e)E UF = {3,4,5,6 }

b)A ∩ B = {b, c }             d)C ∩ D = { 3, 4 }            f)E ∩ F= { } ou Ø

 

Imagem do programa quando aberto em seu computador.
Imagem do programa quando aberto em seu computador.

Aprenda a usar o Diagrama de Venn.  

 

Baixe o programa e instale em seu computador.  

 

Você aprenderá a:

> Identificar símbolos matemáticos relacionados com a teoria dos conjuntos (intersecção, união, subtração);

> a operar com conjuntos (intersecção, união, subtração);

> e a relacionar a operação matemática com sua respectiva representação no diagrama de Venn.

 

Fonte: 

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1245

Portal do Mec _ Diagrama de Venn - Programa a ser instalado em seu computador.
O programa está zipado. Depois de fazer download,você deve deszipar o programa e instalá-lo em seu computador. Em seu desktop (tela) vai aparecer um objeto intitulado "Venn". Para usar,basta clicar que o programa abre.
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